Math can be fun!!

Melihat judulnya mungkin sebagian besar dari anda tidak begitu setuju, sedangkan sebagian kecil lainnya bisa saya pastikan adalah mereka yang sudah ‘fall in love” atau minimal terpaksa “fall in love with math”

Kalau sebelumnya saya menuliskan kombinasi perkalian beberapa angka yang unik dan menarik, kali ini saya akan sedikit membagi pengetahuan saya yang pas-pasan tentang pemograman dengan bahasa S pada software R, yang mungkin masih jarang yang mengenalnya.

Berawal dari jeleknya nilai praktikum Komputasi Statistika karena gagal membuatkan bunga untuk asisten praktikum saat itu, kini akhirnya hal ini dapat saya lakukan dengan beberapa kombinasi.

Berikut ini beberapa hasilnya

Kalau sebelumnya hanya bisa menampilkan satu bunga dalam satu output, kini saya mencoba menampilakn 4 sekaligus dengan beberapa improvisasi

Bagaimana? masih bisa bilang kita tidak bisa bersenang-senang dengan matematika??

Jika tertarik untuk membuatnya, file syntaxnya bisa minta ke saya, dan akan saya post di tab download di blog ini

SELAMAT MENIKMATI MATEMATIKA!!

Instrumen di Pasar Modal Indonesia

Bentuk instrumen di pasar modal disebut efek yaitu surat berharga yang berupa :
1. Saham
Saham adalah tanda bukti memiliki perusahaan dimana pemiliknya disebut juga sebagai pemegang saham (Shareholder atau stockholder). Saham ada 2 macam yaitu saham preferen (preferred stock) dan saham biasa (common stock). Saham preferen adalah jenis saham yang memiliki hak terlebih dahulu untuk menerima laba dan memiliki hak laba kumulaif. Hak kumulatif adalah hak untuk mendapatkan laba yang tidak dibagikan pada suatu tahun yang mengalami kerugian, tetapi akan dibayar pada tahun mengalami keuntungan, sehingga saham preferen akan menerima laba dua kali. Sedangkan saham biasa adalah jenis saham yang akan menerima laba setelah laba bagian saham preferen dibayarkan. Apabila perusahaan bangkrut, maka pemegang saham biasa yang akan menderita terlebih dahulu.

2. Obligasi
Obligasi (Bond) adalah tanda bukti perusahaan memiliki utang jangka panjang kepada masyarakat yaitu diatas 3 tahun. Pihak yang membeli obligasi disebut pemegang obligasi (bondholder) dan pemegang obligasi akan menerima kupon sebagai pendapatan dari obligasi yang dibayarkan.

3. Bukti Right
Bukti right adalah hak untuk membeli saham pada harga tertentu dalam jangka waktu tertentu. Hak memebeli dimiliki oleh pemegeng saham lama. Harga tertentu berarti harganya sudah ditetapkan di muka dan biasa disebut harga pelaksanaan atau harga tebusan (strike price atau exercise price). Apabila pemegang saham lama yang menerima bukti right tidak mampu atau idak berniat menukarkan bukti right dengan saham, maka bukti right tersebut dapat dijual di bursa efek melalui broker efek. Apabila pemegang bukti right lalai menukarkannya dengan saham dan waktu penukaran sudah kadaluwarsa, maka bukti right tersebut tidak berharga lagi, atau pemegang bukti right akan menderita rugi.

4. Waran
Waran adalah hak untuk membeli saham pada harga tertentu dalam jangka waktu tertentu. Waran tidak saja dapat diberikan kepada pemegang saham lama, tetapi juga sering diberikan kepada pemegang obligasi sebagai pemanis (sweetener) pada saat perusahaan menrbitkan obligasi. Pemegang waran tidak akan menderita kerugian apapun seandainya waran itu tidak dilaksanakan. Pada saat harga pasar melebihi strike price waran, maka waran sudah saatnya untuk ditukar dengan saham. Namun pemegang saham masih dapat menunggu sampai harga saham mencapai tingkat tertinggi sepanjang waktu berlakunya belum kadaluwarsa. Apabila pemegang warantidak ingin menebusnya, maka waran itu dapat dijual di bursa efek melalui broker. Apabila waktu untuk mendapatkannya sudah kadaluwarsa dan pemegang waran lalai menebusnya, maka waran tersebut akan menjadi kertas yang tidak bernilai lagi.

5. Produk turunan atau biasa atau disebut derivative
Contoh produk derivative adalah indeks harga saham dan indeks kurs obligasi. Indeks saham dan indeks obligasi adalah angka indeks yang diperdagangkan untuk tujuan spekulasi dan lindungi nilai (hedging). Perdagangan yang dilakukan tidak memerlukan penyerahan barang secara fisik, melainkan hanya perhitungan untung rugi dari selisih antara harga beli dan harga jual. Mekanisme perdagangan produk derivative ini dilakukan

Analisis Cluster

Analisis cluster ialah suatu analisis statistik peubah ganda yang bertujuan untuk mengklasifikasikan sekelompok obyek kedalam beberapa cluster/kelompok berdasarkan ukuran kemiripan atau persamaan karakteristik umum antar obyek-obyek tersebut sehingga obyek-obyek yang berada dalam satu cluster akan mempunyai kemiripan satu dengan yang lainnya. Obyek bisa berupa produk (barang dan jasa), orang (responden, konsumen, dll), serta benda (tumbuhan, hewan, dsb).

Tujuan analisis Cluster adalah :

1. Mengetahui ada tidaknya perbedaan yang nyata (signifikan) antar kelompok yang terbentuk, dalam hal ini cluster yang dihasilkan.
2. Melihat profil serta kecenderungan-kecenderungan dari masing-masing cluster yang terbentuk.
3. Melihat posisi masing-masing obyek terhadap obyek lainnya dari cluster yang terbentuk.

Cluster dikatakan baik jika mempunyai :

• Homogenitas (kesamaan) yang tinggi antar anggota dalam satu cluster (within-cluster)
• Heterogenitas (perbedaan) yang tinggi antar cluster yang satu dengan cluster lainnya (between cluster).

Asumsi yang harus dipenuhi pada analisis cluster :

1. Data yang representatif, sample yang diambil benar-benar bisa mewakili populasi yang ada.
2. Multikolinearitas, yaitu kemungkinan adanya korelasi antar objek, sebaiknya tidak ada. Jika ada, besarnya multikolinearitas tersebut tidaklah tinggi (kurang dari 0.5)

Analisis Cluster ini terdiri dari beberapa proses dasar, yaitu :

• Mengukur kesamaan antar obyek (similarity), biasanya menggunakan metode Euclidean Distance (mengukur jarak antara dua obyek).
• Dilakukan proses standardisasi, jika satuan data (variabel) bervariasi.
• Membuat Cluster, ada dua metode :

1. HIERARCHICAL METHOD, ialah metode yang memulai pengelompokannya dengan dua atau lebih obyek yang mempunyai kesamaan paling dekat, kemudian proses dilanjutkan ke obyek lain yang mempunyai kedekatan kedua. Demikian seterusnya sehingga cluster akan membentuk semacam ”pohon” dimana ada hierarki (tingkatan) yang jelas antar obyek, dari yang paling mirip sampai dengan yang paling tidak mirip.
2. NON-HIERARCHICAL METHOD, ialah metode yang dimulai dengan menentukan terlebih dahulu jumlah cluster yang diinginkan dan kemudian baru dilakukan proses cluster tanpa mengikuti proses hierarki. Biasa disebut metode K-Means Cluster.

• Melakukan interpretasi terhadap cluster yang telah terbentuk.
• Melakukan validasi dan profiling cluster.

Analisis Faktor

Analisis faktor merupakan salah satu analisis dalam teknik statistika multivariat untuk mengidentifikasi dimensi yang mendasari sekelompok variabel kemudian membangun struktur pengelompokkan baru yang lebih sederhana berdasarkan sifat dasar tersebut. Dimensi yang mendasar ini tidak dapat terobservasi kuantitasnya dan disebut sebagai faktor. Dengan kata lain, proses analisis faktor mencoba menemukan hubungan (interrelationship) antar sejumlah variabel-variabel yang saling independen satu dengan yang lain, sehingga bisa dibuat satu atau beberapa kumpulan variabel yang lebih sedikit dibandingkan dengan jumlah variabel awal tanpa kehilangan sebagian besar informasi penting yang terkandung didalamnya. Sebagai contoh, jika ada 16 variabel yang independen satu dengan yang lain, dengan analisis faktor mungkin bisa diringkas hanya menjadi 3 kumpulan variabel baru yang disebut faktor, di mana faktor tersebut tetap mencerminkan variabel-variabel aslinya.

Dalam analisis ini didefinisikan variabel awal sebagai atribut atau karakteristik objek yang digunakan dalam penelitian sebelum dilakukan pemfaktoran. Seluruh variabel tersebut mempunyai kedudukan yang sama dan dianalisis secara simultan. Analisis faktor merupakan pengelompokkan dengan mengukur korelasi sekumpulan variabel dan selanjutnya menempatkan variabel-variabel yang berkorelasi tinggi dalam satu faktor, dan variabel-variabel tersebut ditempatkan pada faktor yang lain. Hasil yang diharapkan adalah faktor-faktor yang nantinya terbentuk tidak saling berkorelasi lagi.

Pada dasarnya tujuan analisis faktor adalah :

1. Data Summarization, yakni mengidentifikasi adanya hubungan antar variabel dengan melakukan uji korelasi.

2. Data Reduction, yakni setelah melakukan korelasi, dilakukan proses membuat sebuah variabel set baru yang dinamakan faktor untuk menggantikan sejumlah variabel tertentu.

Asumsi yang harus dipenuhi pada Analisis Faktor :

Oleh karena prinsip utama Analisis Faktor adalah korelasi, maka asumsi-asumsi terkait dengan korelasi:

Ø Besar KORELASI atau korelasi antar independen variabel harus cukup kuat, di atas 0,5.

Ø Besar Korelasi Parsial, korelasi antar dua variabel dengan menganggap tetap variabel yang lain, justru harus kecil. Pada SPSS, deteksi terhadap korelasi parsial diberikan lewat pilihan ANTI-IMAGE CORRELATION.

Ø Pengujian seluruh matrik korelasi (korelasi antar variabel), yang diukur dengan besaran BARTLETT TEST OF SPHERICITY atau MEASURE SAMPLING ADEQUACY (MSA). Pengujian ini mengharuskan adanya korelasi yang signifikan di antara paling sedikit beberapa variabel.

Ø Pada beberapa kasus, asumsi NORMALITAS dari variabel-variabel atau faktor yang terjadi sebaiknya dipenuhi.

Secara garis besar, tahapan pada analisis faktor :

1. Menentukan variabel apa saja yang akan dianalisis. Jika nilai-nilai dalam masing-masing variabel sangat bervariasi dalam satuan, dalam artian ada variabel (data) dengan satuan Ratusan Ribu (misal Gaji), sampai satuan Jumlah di bawah 10 (misal Jumlah anak). Perbedaan yang sangat mencolok akan menyebabkan bias dalam Analisis Faktor sehingga data asli harus ditransformasi (standardisasi) sebelum bisa dianalisis. Proses standardisasi data bisa dilakukan dengan mentransformasi data ke bentuk z-Score. SPSS : Analyze > Descriptives Statistics > Descriptives… Lalu masukkan semua variabel ke kotak VARIABLE(S), kemudian aktifkan Save Standardized values as variables > OK. Variable yang akan dianalisis kemudian adalah variable yang berawalan huruf z.

2. Menguji variabel tersebut agar menjadi variabel yang layak dimasukkan dalam analisis faktor.

3. Setelah sejumlah variabel terpilih, maka dilakukan proses factoring, atau ‘ekstraksi’ variabel tersebut hingga menjadi satu atau beberapa faktor. Beberapa metode pencarian faktor yang populer adalah Principal Componen dan Maximum Likelihood.

4. Faktor yang terbentuk, pada banyak kasus, kurang menggambarkan perbedaan diantara faktor – faktor yang ada. Untuk itu, jika isi faktor masih diragukan, dapat dilakukan Factor Rotation untuk memperjelas apakah faktor yang terbentuk sudah secara signifikan berbeda dengan faktor lain. Beberapa metode Rotasi :

Ø Orthogonal Rotation, yakni memutar sumbu 90^o. Perotasian secara ortogonal dilakukan dengan tetap mempertahankan keortogonalan faktor – faktor yang berimplikasi pada ada tidaknya perbedaan antara pattern dengan bobot terstruktur. Hasil perotasian ini tidak akan menyebabkan perubahan proporsi keragaman peubah yang dijelaskan oleh m faktor bersama (Sharma, 1996). Beberapa rotasi yang termasuk rotasi ortogonal adalah rotasi Varimax, Quartimax, Equamax dan Parsimax.

Ø Oblique Rotation, yakni memutar sumbu ke kanan, namun tidak harus 90^o. Pada rotasi non-ortogonal (oblique) diasumsikan bahwa faktor – faktor yang dihasilkan saling berkorelasi. Beberapa rotasi yang termasuk oblique adalah rotasi Promax, Procustes, dan Harris-Kaiser.

5. Interpretasi faktor yang telah terbentuk, khususnya memberi nama atas faktor yang terbentu, yang dianggap bisa mewakili variabel-variabel anggota faktor tersebut.

6. Validasi faktor dimaksudkan untuk mengetahui apakah hasil analisis factor tersebut bisa digeneralisasikan ke populasi. Seperti jika pada kasus faktor – faktor yang mempengaruhi motivasi kerja karyawan, dari 100 sampel yang ada kemudian didapat 2 faktor. Uji validasi akan menentukan apakah jika demikian, faktor – faktor yang mempengaruhi motivasi kerja karyawan dari semua orang (tentu jauh lebih besar dari 100 sampel) tersebut juga bisa direduksi menjadi dua faktor seperti pada sampel. Validasi bisa dilakukan dengan berbagai cara, seperti:

Ø Membagi sampel awal menjadi dua bagian, kemudian membandingkan hasil faktor sampel satu dengan sampel dua. Jika hasil tidak banyak perbedaan, bisa dikatakan faktor yang terbentuk telah valid

Ø Dengan melakukan metode Confirmatory Factor Analysis (CFA) dengan cara Structural Equation Modelling. Proses ini bisa dibantu dengan software khusus seperti LISREL.

Dari dua cara di atas yang paling praktis digunakan adalah dengan menguji kestabilan factor yang telah terbentuk. Untuk mengetahui kestabilan tersebut, sampel yang ada akan dipecah (split) menjadi dua bagian, dan kemudian setiap bagian akan diuji dengan analisis faktor. Kemudian masing – masing hasil diperbandingkan, dengan ketentuan, jika sebuah factor stabil, maka hasil – hasil yang ada relatif tidak jauh berbeda, baik jumlah factor atau angka – angkanya.

7. Pembuatan factor scores yang akan berguna jika akan dilakukan analisis lanjutan, seperti analisis regresi, analisis diskriminan atau lainnya.

Jumlah sampel (sample size) yang ideal untuk proses Analisis Faktor

Secara umum, jumlah sampel yang dianjurkan adalah antara 50 sampai 100 sampel. Atau bisa dengan patokan rasio 10:1, dalam arti untuk 1 variabel seharusnya ada 10 sampel, sehingga jika ada 10 variabel, minimal seharusnya ada 100 sampel.

Pemodelan Analisis Faktor

Secara matematis, analisis faktor menyerupai regresi ganda, dimana setiap variabel direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari faktor-faktor yang diperoleh dari hasil pengolahan data. Masing-masing faktor dapat diekspresikan dengan persamaan sebagai berikut :

F₁ = W_i1X₁ + W_i2X₂ + ….. +W_ikX_k

Dimana,

F₁ adalah faktor

W_i adalah bobot variabel terhadap faktor

X adalah variabel

k adalah jumlah variabel

Metode untuk menentukan jumlah faktor

• Penentuan di awal (apriori determination)

Jumlah faktor yang akan diambil telah ditentukan sendiri oleh peneliti.

• Penentuan berdasarkan nilai Eigen (determination based on Eigen value)

Nilai Eigen menunjukkan jumlah variasi yang berhubungan pada suatu faktor. Setiap variabel memeiliki nilai Eigen ≥ 1 sehingga faktor yang nilai Eigennya<1 tidak dipakai.

• Penentuan berdasarkan scree plot (determination based on scree plot)

Scree plot adalah grafik yang menunjukkan relasi antara faktor dengan nilai Eigennya. Bentuk scree plot digunakan untuk menentukan jumlah faktor yang diambil. Pada umumnya batas jumlah faktor yang diambil ditandai dengan slope yang sangat tajam antara faktor yang satu dengan faktor berikutnya.

• penentuan berdasarkan persentase variance (determination based on % variance).

Jumlah faktor yang diambil ditentukan berdasarkan jumlah kumulatif variasi yang telah dicapai. Jumlah kumulatif variasi ini subyektif terhadap masalah yang sedang diteliti.

RATA-RATA BERGERAK TUNGGAL ( Single Moving Average)

Moving Average merupakan indikator yang paling sering digunakan dan paling standar. Jika di Indonesiakan artinya kira-kira adalah rata-rata bergerak. Moving average sendiri memiliki aplikasi yang sangat luas meskipun sederhana. Dikatakan sederhana karena pada dasarnya metode ini hanyalah pengembangan dari metode rata-rata yang kita kenal disekolah ( nah, ada gunanya juga bukan kita bersekolah).

Rata-rata bergerak tunggal (Moving average) untuk periode t adalah nilai rata-rata untuk n jumlah data terbaru. Dengan munculnya data baru, maka nilai rata-rata yang baru dapat dihitung dengan menghilangkan data yang terlama dan menambahkan data yang terbaru. Moving average ini digunakan untuk memprediksi nilai pada periode berikutnya. Model ini sangat cocok digunakan pada data yang stasioner atau data yang konstant terhadap variansi, tetapi tidak dapat bekerja dengan data yang mengandung unsur trend atau musiman.

Rata-rata bergerak pada orde 1 akan menggunakan data terakhir (F_t), dan menggunakannya untuk memprediksi data pada periode selanjutnya. Metode ini sering digunakan pada data kuartalan atau bulanan untuk membantu mengamati komponen-komponen suatu runtun waktu. Semakin besar orde rata-rata bergerak, semakin besar pula pengaruh pemulusan (smoothing).

Dibanding dengan rata-rata sederhana (dari satu data masa lalu) rata-rata bergerak berorde T mempunyai karakteristik sebagai berikut.

• Hanya menyangkut T periode tarakhir dari data yang diketahui.
• Jumlah titik data dalam setiap rata-rata tidak berubah dengan berjalannya waktu.

Kelemahan dari metode ini adalah :

• Metode ini memerlukan penyimpanan yang lebih banyak karena semua T pengamatan terakhir harus disimpan , tidak hanya nilai rata-rata.
• Metode ini tidak dapat menanggulangi dengan baik adanya trend atau musiman, walaupun metode ini lebih baik dibanding rata-rata total.

Diberikan N titik data dan diputuskan untuk menggunakan T pengamatan pada setiap rata-rata (yang disebut dengan rata-rata bergerak orde (T) atau MA(T), sehingga keadaannya adalah sebagai berikut :

Kelompok Inisialisasi	Kelompok Pengujian

Secara ringkas perhitungan metode ini adalah sebagai berikut:

Waktu	Rata-rata bergerak	Ramalan
T T+1 T+2	Dst	Dst

Metode Moving Average ini dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan :

1. Microsoft Excell

Data dapat di store dengan mengikuti petunjuk :

Misal MA (3)
t	data	MA(3)
1	X1
2	X2
3	X3
4	X4	(X1 + X2 + X3)/3
5	X5	(X2 + X3 + X4)/3
..	…	…
..	…	…
N	Xn	(X(n-3) + X(n-2) + X(n-1))/3

2. MINITAB

Stat –> Time Series –> Moving Average

Pada :

Variable : Kolom data disimpan

MA Length : Panjang Periode MA

Centang generate forrecast :

Number of forrecast : Jumlah periode yang akan diramalkan

Starting from Origin : Jumlah data yang telah ada

Klik OK

(Lebih lanjut pada contoh soal)

Contoh Soal

Dengan Microsoft Excell

Contoh Moving Average orde 3 dan orde 5

Rata-rata Bergerak Tunggal
Periode	data	MA_3	e^2	MA_5	e^2
1	2203
2	2360
3	2254
4	2165	2272,33	11520,44
5	2024	2259,67	55538,78
6	2078	2147,67	4853,44	2201,20	15178,24
7	2214	2089,00	15625,00	2176,20	1428,84
8	2292	2105,33	34844,44	2147,00	21025,00
9	2207	2194,67	152,11	2154,60	2745,76
10	2119	2237,67	14081,78	2163,00	1936,00
11	2119	2206,00	7569,00	2182,00	3969,00
13	-	2148,33		2190,20
		MSE	18023,13	MSE	7713,81

MSE orde 5 dikatakan baik karena MSE nya lebih kecil daripada mSE orde 3.