Teorema 1 :
Diketahui himpunan S c R
- suatu elemen a anggota R disebut batas atas S jika : x ≤ a, untuk semua x anggota S
- suatu elemen b anggota R disebut batas bawah S jika : b ≤ x, untuk semua x anggota S
Catatan:
- suatu himpunan S dikatakan terbatas ke atas jika S mempunyi batas atas
- suatu himpunan S dikatakan terbatas ke bawah jika S mempunyi batas bawah
- suatu himpunan S dikatakan terbatas jika S terbatas ke atas dan terbatas ke bawah
Teorema 2 :
Diketahui himpunan S c R
- jika a batas atas S, dan b > a maka b batas atas S, sehingga jika S terbatas ke atas maka ada tak hingga banyak batas atas S. Batas atas S paling kecil disebut suprimum S yang ditulis sup S
- jika S terbatas ke bawah, maka ada tak hingga banyak batas bawah S. Batas bawah S paling besar disebut infimum S yang ditulis inf S
Teorema 3 :
Diketahui himpunan S c R
- a sup S jika : a batas atas S (x ≤ a, untuk semua x anggota s) dan terdapat t batas atas S sehingga a ≤ t, atau
- a sup S jika : a batas atas S dan terdapat r < a dan r bukan batas atas S yaitu terdapat x anggota S sehingga r<x
- b inf S jika : b batas bawah S dan terdapat t batas bawah S sehingga t ≤ b, atau
- b inf S jika : b batas bawah S dan terdapat r > b dan r bukan batas bawah S yaitu terdapat x anggota S sehingga x < r
Lemma :
S c R dan S ≠ Ø
- a sup S jika hanya jika untuk suatu ε > 0, terdapat x anggota S sehingga a-ε < x ≤ a
- b inf S jika hanya jika untuk suatu ε > 0, terdapat x anggota S sehingga b+ε > x atau b ≤ x < b+ε
Bukti :
==>
diketahui a sup S akan dibuktikan bahwa untuk suatu ε > 0, terdapat x anggota S sehingga a-ε < x ≤ a
ambil ε > 0
karena a-ε < a, maka a-ε bukan batas atas S, sehingga terdapatx anggota S sehingga a-ε < x . terbukti []
<==
diketahui untuk suatu ε > 0, terdapat x anggota S sehingga a-ε < x ≤ a, akan dibuktikan bahwa a sup S
misal c batas atas S dengan c<a, maka a-c > 0
ambil ε = a-c, maka menurut hipotesa, terdapat x anggota S sehingga a-ε = a(-a-c) = c < x
yang berarti c bukan batas atas S yang kontradiksi dengan c batas atas S.
jadi, jika c batas atas S, maka c > a yang berarti a sup S []
