Ada himpunan bagian (P c R) yang disebut himpuan bilangan positif tegas yang memenuhi :
1. a,b anggota P, => a+b anggota P
2. a,b anggota P. => a.b anggota P
3. a anggota P, => berlaku tepat satu pernyataan berikut : a anggota P, a=0, -a anggota P
Himpunan : {-a|a anggota P} disebut himpunan Bilangan Real Positif Tegas.
Definisi 1:
Jika a anggota P, maka dikatakan a bilangan real positif tegas yang ditulis a > 0. jika salah satu yaitu a anggota P atau a = 0, maka dikatakan a bilangan real positif ditulis a ≥ 0.
Jika -a anggota P, maka dikatakan a bilangan real negatif tegas yang ditulis a < 0. jika salah satu yaitu -a anggota P atau -a = 0, maka dikatakan a bilanga real negatif yang ditulis a ≤ 0
Definisi 2:
diketahui a anggota R
a. jika a-b anggota P, maka ditulis a > b atau b < a
b. jika a-b anggota P U {0}, maka ditulis a ≥ b atau b ≤ a
a < b < c dimaksud a < b dan b < c
a ≤ b ≤ c dimaksud a ≤ b dan b ≤ c
Teorema 1:
Diketahui a,b,c anggota R
- a > b dan b > c, maka a > c
- tepat satu pernyataan berikut berlaku: a > b, a = b, a < b
- a > b, dab b > a, maka a = b
Teorema 2 :
- Jika a anggota R dan a ≠o, maka a^2 > 0
- 1 > 0
- jika n anggota N, maka n > 0
Teorema 3 :
diketahui a,b,c anggota R
- jika a > b , maka a+c > b+c
- jika a > b dan c > d, maka a+c > b+d
- jika a > b dan c > 0, maka a.c > b.c dan jika a > b dan c < 0, maka a.c < b.c
- jika a > 0 maka 1/a > 0, dan jika a < 0 maka 1/a < 0.
Teorema 4 :
Jika a,b anggota R dan a > b, maka a > (a+b)/2 > b
Bukti :
karena a > b, maka
a+a > a+b dan a+b > b+b
2a > a+b a+b > 2b
a > (a+b)/2 (a+b)/2 > b
sehingga a > (a+b)/2 > b []
akibat : jika a > 0, maka a> a/2 > 0
Teorema 5 :
Jika a anggota R dan 0 ≤ a < ε, maka setiap bilangan positif tegas ε anggota R berakibat a = 0
Bukti:
andaikan a ≠0, maka a > 0 sehingga a> a/2 > 0
ambil ε nol = a/2, maka didapat a > ε nol > o dengan ε nol > 0
jadi, terdapat ε nol > o dengan a > ε nol > o. hal ini kontradiksi dengan ε > a >= 0, untuk semua ε > 0. Pengandaian Salah []
Teorema 6:
jika a.b > 0, maka berlaku salah satu:
- a > 0 dan b > 0 , atau
- a <0 dan b < 0
akibat :
jika a.b < 0, maka berlaku salah satu:
- a < 0 dan b > 0 , atau
- a > 0 dan b < 0
