Posts Tagged 'Peluang Bersyarat'

Peluang (cont)

Peluang suatu peristiwa A sama dengan jumlahan peluang setiap peristiwa sederhana di dalam A.

Contoh :
Diketahui proporsi golongan darah A, B, AB, dan O dari suatu populasi yang terdiri dari semua penduduk Negara X, ditulis secara berurutan adalah 0.41, 0.10, 0.04, dan 0.45. Jika seorang penduduk dipilih secara random, berapakah peluang orang tersebut
mempunyai golongan darah A atau AB?
Jawab:
P (Seorang penduduk mempunyai golongan darah A atau AB) = P(A) + P(AB) = 0.41+0.04 = 0.45

“Peristiwa-peristiwa baru” dapat dibentuk dari peristiwa-peristiwa yang sudah ada dengan menggunakan operasi dasar himpunan, yaitu gabungna (union), irisan (interseksi) dan komplementasi yang didefinisikan sebagai berikut:
a. Gabungan dua peristiwa A dan B, ditulis A ∪ B adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam A atau yang ada di dalam B.
A ∪ B = {x ∈ S, x ∈ A atau x ∈ B}.       (1)
b. Irisan dua peristiwa A dan B, ditulis A ∩ B, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam A dan di dalam B.
A ∩ B = {x ∈ S, x ∈ A dan x ∈ B}        (2)
c. Komplemen suatu peristiwa A, ditulis Ac, adalah himpunan semua elmenen yang tidak di dalam A (relatif terhadap S)
Ac = {x ∈ S, x ∉ A}    (3)

Contoh 2
Percobaan sebuah dadu dilemparkan satu kali, Ruang sampel: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 4}, B = {2, 3, 5} dan C = {4, 6}, maka
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} A ∩ B = ∅ A ∪ C = {1, 4, 6}
A ∩ C = {4} B⊂ = {1, 4, 6} C⊂ = {1, 2, 3, 5} B⊂ ∩ C = {4, 6}

Contoh 3
Misalakan X menunjukkan Indeks Prestasi (IP) seorang mahasiswa,
Ruang sampel: S = {X∈ R/0 ≤ X ≤ 4}
Bila P = {1,60 ≤ X < 1,75}, Q = {1.65 ≤ X ≤ 1.80} dan R = {X ≤ 1,74},
Maka P ∪ Q = {1,60 ≤ X ≤ 1,80}
P ∩ Q = {1,65 ≤ X < 1,75}
R⊂ = {1,74<X≤ 4}
Q ∩ R⊂ = {1,74 < X ≤ 180}.

Contoh 4:
Sebuah dadu dilemparkan dua kali, peristiwa-peristiwa K, L, M dan N didefinisikan sebagai berikut:
K = lemparan kedua menghasilkan 4
L = lemparan pertama ganjil
M = lemparan kedua menghasilkan 3
N = lemparan pertama menghasilkan prima


Maka K = {(1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4)}
L = (1,1), …, (1,6), (3,1), …, (3,6), (5,1), …, (5,6)}
M = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)}
N = {(2,1), …, (2,6), (3,1), …, (3,6), (5,1), …, (5,6)}.
K ∪ M = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4)}
L ∩ M = {(1,3),(3,3),(5,3)}
L ∩ M ∩ N = {(3,3), (5,3)}.

Dua peristiwa A dan B yang tidak mempunyai elemen berserikat, yaitu A∩B = ∅ , dinamakan saling asing (disjoint atau mutually exclusive).
Jika A dan B dua peristiwa yang saling asing, maka P(A ∩ B) = 0, sehingga berlaku :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B). (6)
Di samping itu, untuk setiap peristiwa A berlaku:
P (Ac) = 1 – P (A). (7)

Contoh 5:
Sebuah kartu diambil secara random dari satu dek kartu bridge. Dipandang peristiwa-peristiwa berikut dengan probabilitas masing-masing :
A = kartu terambil adalah hati; P(A) =13/52 = 1/4
B = kartu terambil adalah berlian; P(B) =13/52 = 1/4
C = kartu terambil adalah raja; P(C) =4/52 = 1/13
Karena peristiwa A dan B saling asing, maka: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) =
1/4 + 1/4 = 1/2

Definisi Peluang Bersyarat dan Independensi
Diketahui kejadian A dan B dengan P(B)>0. Maka peluang bersyarat A jika B telah diketahui, P(A|B), didefinisikan sebagai

Secara umum dapat diperlihatkan bahwa

P(A1 ∩ A2 ∩…∩ An ) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1 ∩ A2)….P(An | A1 ∩ A2 ∩…∩ An−1)

(10)

Dua kejadian A dan B disebut kejadian independen jika

P(A|B)=P(A) atau P(B|A) = P(B).   (11)

Jika A dan B independen maka

P(AB) = P(A)P(B)                      (12)

Secara umum, jika A1, A2, …, An kejadian-kejadian independen , maka

P(A1 ∩ A2 ∩…∩ An ) = P(A1)P(A2)….P(An )     (13)

Contoh 4.11:
Dua koin seimbang dilempar, dan diamati sisi yang terletak di posisi atas.
Didefinisikan: A: Sisi muka yang muncul pada koin pertama
B: Sisi belakang yang muncul pada koin kedua.
Apakah peristiwa A dan B independent?
Jawab:
S= {MM, MB, BM, BB}
A= {MM, MB}
B= {MB, BB}
A∩ B = {MB}
P (A) =2/4=1/2
P(A|B)=P( A∩ B)/P(B) =(1/4)/(1/2) = 1/2
Karena P (A) =P (A|B), maka A dan B independent.


Calendar

November 2014
S S R K J S M
« Des    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 30 pengikut lainnya.