Arsip untuk Oktober, 2009

Suprimum dan Infimum

Teorema 1 :

Diketahui himpunan S c R

  • suatu elemen a anggota R disebut batas atas S jika : x ≤ a, untuk semua x anggota S
  • suatu elemen b anggota R disebut batas bawah S jika : b ≤ x, untuk semua x anggota S

Catatan:

–  suatu himpunan S dikatakan terbatas ke atas jika S mempunyi batas atas

–  suatu himpunan S dikatakan terbatas ke bawah jika S mempunyi batas bawah

–  suatu himpunan S dikatakan terbatas  jika S terbatas ke atas dan terbatas ke bawah

Teorema 2 :

Diketahui himpunan SR

  • jika a batas atas S, dan b > a maka b batas atas S, sehingga jika S terbatas ke atas maka ada tak hingga banyak batas atas S. Batas atas S paling kecil disebut suprimum S yang ditulis sup S
  • jika S terbatas ke bawah, maka ada tak hingga banyak batas bawah SBatas bawah S paling besar disebut infimum S yang ditulis inf  S

Teorema 3 :

Diketahui himpunan S c R

  • a sup S jika : a batas atas S (x ≤ a, untuk semua x anggota s) dan terdapat t batas atas S sehingga a ≤ t, atau
  • a sup S jika : a batas atas S  dan terdapat r < a dan r bukan batas atas S yaitu terdapat x anggota S sehingga r<x
  • b inf  S jika : b batas bawah S  dan terdapat t batas bawah S sehingga t ≤ b, atau
  • b inf  S jika : b batas bawah S  dan terdapat r > b dan r bukan batas bawah S yaitu terdapat x anggota S sehingga x < r

Lemma :

SR dan S Ø

  • a sup S jika hanya jika untuk suatu ε > 0, terdapat x anggota S sehingga a-ε < x ≤ a
  • b inf S jika hanya jika untuk suatu ε > 0, terdapat x anggota S sehingga b+ε > x atau b ≤ x < b+ε

Bukti :

==>

diketahui a sup S akan dibuktikan bahwa untuk suatu ε > 0, terdapat x anggota S sehingga a-ε < x ≤ a

ambil ε > 0

karena a-ε < a, maka a-ε bukan batas atas S, sehingga terdapatx anggota S sehingga a-ε < x . terbukti []

<==

diketahui untuk suatu ε > 0, terdapat x anggota S sehingga a-ε < x ≤ a, akan dibuktikan bahwa a sup S

misal c batas atas S dengan c<a, maka a-c > 0

ambil ε = a-c, maka menurut hipotesa, terdapat x anggota S sehingga a-ε = a(-a-c) = c < x

yang berarti c bukan batas atas S yang kontradiksi dengan c batas atas S.

jadi, jika c batas atas S, maka c > a yang berarti a sup S []

Nilai Mutlak

jika a anggota R, maka nilai mutlak a ditulis |a| dan di defenisikan :

“|a| =  a,  jika a ≥ 0 dan |a| = -a,  jika a < 0”

 

Teorema 1 :

  1. |-a| = |a| , untuk semua a anggota R
  2. |a.b| = |a|.|b|, untuk semua a,b anggota R
  3. jika c > 0, maka |a| ≤ c jika hanya jika -c ≤ a ≤ c
  4. -|a| ≤ a ≤ |a|, untuk semua a anggota R
  5. |a ± b| ≤ |a| + |b|
  6. |a| – |b| ≤ |a ± b|

 

Definisi :

Diketahui a anggota R,

  • untuk ε > 0, kitaran ε dari a ditulis Vε(a) yang didefenisikan sebagai : Vε(a) = {x anggota R | |x-a| < ε}
  • suatu kitaran (neighbourhood) titik a adalah suatu himpunan yang memuat kitaran ε dari a untuk suatu ε > 0

 

Teorema 2 :

diketahui a anggota R

jika x anggota R sehingga x menjadi anggota setiap kitaran a, maka x = a

Bukti :

Menurut hipotesa, x anggota Vε(a), untuk semua ε >0, sehingga

0 ≤ |x-a| ≤ ε untuk semua ε >0

ini berakibat |x-a| = 0, => x-a = 0 => x = a []

 

Sifat Urutan Pada R

Ada himpunan bagian (PR) yang disebut himpuan bilangan positif tegas yang memenuhi :
1. a,b anggota P, => a+b anggota P
2. a,b anggota P. => a.b anggota P
3. a anggota P, => berlaku tepat satu pernyataan berikut : a anggota P, a=0, -a anggota P

Himpunan : {-a|a anggota P} disebut himpunan Bilangan Real Positif  Tegas.

Definisi 1:
Jika a anggota P, maka dikatakan a bilangan real positif tegas yang ditulis a > 0.  jika salah satu yaitu a anggota P atau a = 0, maka  dikatakan a bilangan real positif ditulis a ≥ 0.

Jika -a anggota P, maka dikatakan a bilangan real negatif tegas yang ditulis a < 0. jika salah satu yaitu -a anggota P atau -a = 0, maka dikatakan a bilanga real negatif yang ditulis a ≤ 0

Definisi 2:

diketahui a anggota R

a. jika a-b anggota P, maka ditulis a > b atau b < a

b. jika a-b anggota P U {0}, maka ditulis a ≥ b atau b ≤ a

a < b < c dimaksud a < b dan b < c
a ≤ b ≤ c dimaksud a ≤ b dan b ≤ c


Teorema 1:
Diketahui a,b,c anggota R

  1. a > b dan b > c, maka a > c
  2. tepat satu pernyataan berikut berlaku: a > b, a = b, a < b
  3. a > b, dab b > a, maka a = b

Teorema 2 :

  1. Jika a anggota R dan a ≠o, maka a^2 > 0
  2. 1 > 0
  3. jika n anggota N, maka n > 0

Teorema 3 :

diketahui a,b,c anggota R

  1. jika a > b , maka a+c > b+c
  2. jika a > b dan c > d, maka a+c > b+d
  3. jika a > b dan c > 0, maka a.c > b.c  dan jika a > b dan c < 0, maka a.c < b.c
  4. jika a > 0 maka 1/a > 0, dan jika a < 0 maka 1/a < 0.

Teorema 4 :

Jika a,b anggota R dan a > b, maka a > (a+b)/2 > b

Bukti :

karena a > b, maka

a+a > a+b                            dan                          a+b > b+b

2a > a+b                                                                a+b > 2b

a > (a+b)/2                                                          (a+b)/2 > b

sehingga a > (a+b)/2 > b []

akibat : jika a > 0, maka a> a/2 > 0

Teorema 5 :

Jika a anggota R dan 0 ≤ a < ε, maka setiap bilangan positif tegas ε anggota R berakibat a = 0

Bukti:

andaikan a ≠0, maka a > 0 sehingga a> a/2 > 0

ambil ε nol = a/2, maka didapat a > ε nol > o dengan ε nol > 0

jadi, terdapat ε nol > o dengan a > ε nol > o. hal ini kontradiksi dengan ε > a >= 0, untuk semua ε >  0. Pengandaian Salah []

Teorema 6:

jika a.b > 0, maka berlaku salah satu:

  1. a > 0 dan b > 0 , atau
  2. a <0 dan b < 0

akibat :

jika a.b < 0, maka berlaku salah satu:

  1. a < 0 dan b > 0 , atau
  2. a > 0 dan b < 0

Bilangan Rasional

Bilangan Real yang dapat ditulis dalam bentuk a/b dengan a,b anggota Z dan a tidak sama dengan nol, disebut bilangan Rasional.

Z={…,-2,-1,0,1,2,….} –> Himpunan Bilangan Bulat

Himpunan semua bilangan rasional yang selanjutnya ditulis Q,
Q = { b/a | b,a anggota Z dan a bukan 0 }

sedangkan bilangan Real yang bukan merupakan bilangan rasional disebut bilangan Irasional, misalnya (e, phi, akar 2,…)

Teorema :
“tidak ada bilangan rasional r sehingga r^2 = 2 ”

Bukti :
andaikan ada r anggota Q sehingga r^2 = 2
karena r anggota Q, maka dapat ditulis r = p/q dengan p,q anggota Z, serta p dan q tidak mempunyai faktor berserikan selain 1.(*)
sehingga diperoleh (p/q)^2 = 2 atau p^2 = 2q^2
karena 2q^2 genap, maka p^2 genap, sehingga p genap, sebab jika p ganjil maka p=2k+1 sehingga p^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2 (2k^2 + 2k) + 1 ganjil.
karena p genap, maka p=2m sehingga :
(2m)^2 = 2q^2
4m^2 = 2q^2
2m^2 = q^2
yang berarti q^2 genap. ini berakibat q genap.
karena p dan q genap, maka p dan q mempunyai faktor berserikat selain 1.
hal tersebut merupakan kontradiksi dari pernyataan (*)
jadi, pengandaian salah dan yang benar adalah TIDAK ADA r anggota Q sehingga r^2 = 2. []


Calendar

Oktober 2009
S S R K J S M
« Sep   Des »
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031