Arsip untuk Januari, 2010

Keunikan Bilangan dalam Operasi Matematika

mungkin tidak ada dari kita ataupun jika ada mungkin hanya sebagian kecil yang tahu tentang apa yang akan saya sajikan di bawah ini. yap, jika diperhatikan , bilangan-bilangan 1-9 jika kita menerapkan operasi matematika di dalamnya seperti penjumlahan (+), pengurangan (-), perkalian (x), pembagian dan kombinasi diantara keempat operasi tersebut akan mbentuk pola-pola yang luar biasa.

saksikan:

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 + 10 = 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

got it..??
itulah matematika, sukar tapi indah bagi mereka yang suka kesukaran
dan tak salah kiranya jika salah seorang dosen saya di FMIPA UGM menyatakan bahwa matematika itu seni tingkat tinggi, yang jika kita telah mengerti maknanya maka kita akan terjerat dalam keindahannya.

Periode Penemuan Matematika

matematika atau studi tentang bilangan dan bentuk seluruhnya sebenarnya hanya bertumpu pada 2 hal , yaitu aritmetika dan geometri…
nah di sini ane mau ngebagi inpo periode penemuan matematika yang mungkin agan-agan segani waktu di sekolah dulu..

Periode tahun 2000 SM – 300 M

  • Euclides (330-25 SM) menghipun segala geometri di zamannya menjadi satu sistem
  • Aritmatika (ilmu hitung), geometri, dan logika

Periode tahun 300 – 1400 M

  • Paruh kedua masa-masa puncak kejayaan ilmuan muslim sebelum memasuki abad kemacetan
  • Al-Khawarizmi (780-850) yang di barat dikenal sebagai algorismi, algorism,angrym,atau alguarisme. dijuluki “Bapak Aljabar” karena keahlian dan kepionirannya dalam bidang aritmatika, matematika dan astronomi, menemukan sistem hitungan pengganti sisten segsagesimal, memperkenalkan matematika dasar, beberapa rumus ilmu ukur, teorema trigonometri seperti sinus, cosinus, tangen,cotangen, cara menghitung luas segitiga, luas jajaran genjang, lingkaran dan sebagainya. Karyanya banyak disalin oleh sarjana Barat semisal Coppernicus, Feurbach dan Regiomuntanus
  • Abu Kamil Syja‘, ahli aljabar tertua yang berpengaruh besar pada perkembangan alojabar di Eropa melalui Leonard dari Pisa.
  • Teori Bilangan, Aljabar, geometrik analitik, trigonometri

Periode tahun 1400 – 1600 M

  • Umar Khayyam (1040-1124) penyair yang jago aljabar. Antara lain melakukan modifikasi terhadap perhitungan kalender muslim, menulis tentang persamaan linier, persamaan kuadrat, dan kubik
  • Niccolo Tartaglia, menerapkan matematika pada artileri dan menurunkan penyelesaian untuk persamaan kubik

Periode Abad ke-17

  • Isaac Newton dan Wilhelm Leibnitz, secara terpisah menemukan kalkulus. newton menerapkannya pada gerak planet sementara Leibnitz lebih berminat ke teori

Periode Abad ke-18

  • Kementakan (probabilitas) dan statistik, persamaan differensial, Kalkulus, geometrik analitik dan topologi

Periode Abad ke-19:

  • Bernard Riemann menemukan geometri untuk ruang berdimensi banyak
  • Komputer elektronik, teori informasi, teori fungsi, geometri non-euclides, logika matematika

Jawaban soal UAS Pengantar Analisis Real 2009

  • Didefenisikan pengertian himpunan terbuka dalam R. selanjunya buktikan jika A, B dan C merupakan himpunan terbuka dalam R maka A ∩ B ∩ C juga terbuka dalam R.

bukti :

Diketahui A, B dan C masing-masing terbuka dalam R

Akan dibuktikan bahwa (A ∩ B ∩ C) terbuka

Jika (A ∩ B ∩ C) = Ø, maka (A ∩ B ∩ C) terbuka

Sedangkan

Jika (A ∩ B ∩ C ≠ Ø), maka ambil sebarang x anggota (A ∩ B ∩ C)

–         x anggota A dan A terbuka,  maka terdapat εA > 0 shingga VεA(x) C A

–         x anggota B dan B terbuka,  maka terdapat εB > 0 shingga VεB(x) C B

–         x anggota C dan C terbuka,  maka terdapat εC > 0 shingga VεC (x) C C

selanjutnya

diambil ε minimum (εA, εB, εC), jelas bahwa ε >0, sehingga Vε (x) C Vεi(x) C i untuk i = A, B, C

ini berakibat Vε(x) C (A ∩ B ∩ C)

terbukti bahwa untuk x elemen (A ∩ B ∩ C) terdapat ε > 0 sehingga Vε (x) C (A ∩ B ∩ C), jadi (A ∩ B ∩ C) terbuka. []

  • Jika barisan bilangan Real (an) merupakan barisan Cauchy, buktikan bahwa (an) konvergen. Berikutnya berikanlah contoh suatu barisan Cauchy

Bukti :

Karena (an) barisan Cauchy, maka (an) terbatas. Menurut teorema Bolzano-weirstrass, maka (an) memuat subsequent a’ = (ank) yang convergen, katakana lim (ank) = a

Selanjutnya ditunjukkan lim(an) = a

Ambil ε >0

Karena (an) barisan cauchy, maka terdapat n0 anggota N sehingga untuk semua n,m anggota N dengan n ≥ n0 dan m ≥ n0 berlaku |an – am| < ε /2

Selanjutnya

Bahwa lim (ank) = a maka terdapat t anggota {n1, n2, …} dengan t ≥1 sehingga |at – a| < ε /2

Jadi, untuk semua n anggota N dengan n ≥ n0 berlaku :

|an – a| ≤ |an – at| + |at – a| < ε /2 + ε /2 = ε

Terbukti untuk semua ε > 0, terdapat n0 anggota N dengan n ≥ n0 berlaku |an – a| <  ε yang berarti lim (an) = a dan berakibat barisan (an) konvergen ke a. []

  • Untuk setiap barisan (xn) C A yang konvergen ke c dengan xn < c, untuk semua n anggota N barisan (f(xn)) konvergen ke L

Bukti :

Diketahui L = lim (f(xn))

Ambil sebarang barisan (xn) dengan xn anggota A, xn ≠ c dan lim (xn) = c

Ditunjukkan bahwa lim (f(xn)) = L maka barisan (f(xn)) konvergen ke L.

Ambil ε >0  karena L = lim (f(xn)) maka terdapat  δ(ε) > 0 sehingga untuk semua x anggota A dengan 0< |x – c | < δ(ε) berlaku |f(x) – L| < ε

Mengingat lim(xn) = c maka untk δ(ε) > 0 tersebut, terdapat n0 anggota N sehingga untuk setiap n anggota N dengan n ≥ n0 berlaku |xn – c| < δ(ε)

Jadi, untuk setiap ε > 0, terdapat n0 anggota N sehingga untuk setiap n anggota N dengan n ≥ n0 maka |f(xn) – L| < ε, dan ini berarti lim f(x­n) = L . []

Analisis Regresi Non Linier Sederhana (SPSS)

Analisis regresi merupakan suatu analisis anatara variable independent (X) dengan varabel dependent (Y), dimana diasumsikan bahwa X mempengaruhi Y secara exponensial, kuadratik, kubik, logaritmik, invers ataupun bentuk lainnya.

Secara umum, terdapat beberapa model regresi nonlinier, antara lain:

Jika kita dihadapkan pada pilihan beberapa model regresi yang digunkan, maka kita kita dapat mengambil model yang terbaik berdasarkan pertimbangan berikut:
1. nilai R yang besar,
2. nilai R2 yang besar, dan
3. Standard error yang kecil.

Untuk melakukan uji regresi non linier, kita bisa menggunakan bantuan SPSS. Di SPSS kita bisa mengikui langkah-langkah sebagai berikut:
1. Inputkan data ke dalam worksheet SPSS,
2. Klik Analyze –> Regression –> Curve estimation

Masukan variable dependent pada kolom dependent(s) dan varaibel-variabel independent dalm kolom independent kemudian pilih model regresi yang akan di uji, aktifkan display ANOVA table klik OK.

ANOVA Satu Arah (One Way ANOVA)

Analisis variansi adalah suatu prosedur untuk uji perbedaan mean beberapa populasi.

Konsep analisis variansi didasarkan pada konsep distribusi F dan biasanya dapat diaplikasikan untuk berbagai macam kasus maupun dalam analisis hubungan antara berbagai varabel yang diamati. Dalam perhitungan statistik, analisis Variansi sangat dipengaruhi asumsi-asumsi yang digunakan seperti kenormalan dari distribusi, homogenitas variansi dan kebebasan dari kesalahan.

Asumsi kenormalan distribusi memberi penjelasan terhadap karakteristik data setiap kelompok. Asumsi adanya homogenitas variansi menjelaskan bahwa variansi dalam masing-masing kelompok dianggap sama. Sedangkan asumsi
bebas menjelaskan bahwa variansi masing-masing terhadap rata-ratanya pada setiap kelompok bersifat saling bebas.

Analisis variansi adalah suatu prosedur untuk uji perbedaan mean beberapa populasi (lebih dari dua).
Hipotesis ANOVA satu arah
H0 : μ1= μ 2 = μ 3 = … = μ k
– Seluruh mean populasi adalah sama
– Tidak ada efek treatment ( tidak ada keragaman mean dalam grup )
H1 : tidak seluruhnya mean populasi adalah sama
– Terdapat sebuah efek treatment
– Tidak seluruh mean populasi berbeda ( beberapa pasang mungkin sama )

Partisi Variansi
Variansi total dapat dibagi menjadi 2 bagian :
SST = SSG + SSW
SST = Total sum of squares (jumlah kuadrat total) yaitu penyebaran agregat nilai data individu melalui beberapa level faktor .
SSG/SSB = Sum of squares between-grup (Jumlah kuadrat antara) yaitu penyebaran diantara mean sampel faktor .
SSW/SSE = Sum of squares within-grup (jumlah kuadrat dalam) yaitu penyebaran yang terdapat diantara nilai data dalam sebuah level faktor tertentu .

Rumus jumlah kuadarat total ( total sum of squares )
SST = SSG + SSW
Dimana
SST = total sum of squares ( jumlah kadarat total )
k      = levels of treatment ( jumlah populasi )
ni     = ukuran sampel dari poplasi i
x ij   = pengukuran ke-j dari populsi ke-i
x       = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )

Variansi total

Rumus untuk mencari variasi jumlah kuadrat dalam
Keterangan :
SSW/SSE = jumlah kuadrat dalam
k     = levels of treatment ( jumlah populasi )
ni   = ukuran sampel dari poplasi i
xij = pengukuran ke-j dari populsi ke-i
x = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )

Rumus untuk mencari varisi diantara grup
Keterangan :
SSB/SSG = jumlah kuadrat diantara
k = levels of treatment ( jumlah populasi )
ni = ukuran sampel dari poplasi i
xij = pengukuran ke-j dari populsi ke-i
x = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )

Rumus variasi dalam kelompok
MSW =SSW/N-K

dimana:

MSW = Rata-rata variasi dalam kelompok
SSW = jumlah kuadrat dalam
N-K = derajat bebas dari SSW

rumus variasi diantara kelompok
MSG = SSG/K-1
MSG/SSW = Rata-rata variasi diantara kelompok
SSG = jumlah kuadrat antara
k-1 = derajat bebas SSG


Calendar

Januari 2010
S S R K J S M
« Des   Feb »
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031