Jawaban soal UAS Pengantar Analisis Real 2009

  • Didefenisikan pengertian himpunan terbuka dalam R. selanjunya buktikan jika A, B dan C merupakan himpunan terbuka dalam R maka A ∩ B ∩ C juga terbuka dalam R.

bukti :

Diketahui A, B dan C masing-masing terbuka dalam R

Akan dibuktikan bahwa (A ∩ B ∩ C) terbuka

Jika (A ∩ B ∩ C) = Ø, maka (A ∩ B ∩ C) terbuka

Sedangkan

Jika (A ∩ B ∩ C ≠ Ø), maka ambil sebarang x anggota (A ∩ B ∩ C)

–         x anggota A dan A terbuka,  maka terdapat εA > 0 shingga VεA(x) C A

–         x anggota B dan B terbuka,  maka terdapat εB > 0 shingga VεB(x) C B

–         x anggota C dan C terbuka,  maka terdapat εC > 0 shingga VεC (x) C C

selanjutnya

diambil ε minimum (εA, εB, εC), jelas bahwa ε >0, sehingga Vε (x) C Vεi(x) C i untuk i = A, B, C

ini berakibat Vε(x) C (A ∩ B ∩ C)

terbukti bahwa untuk x elemen (A ∩ B ∩ C) terdapat ε > 0 sehingga Vε (x) C (A ∩ B ∩ C), jadi (A ∩ B ∩ C) terbuka. []

  • Jika barisan bilangan Real (an) merupakan barisan Cauchy, buktikan bahwa (an) konvergen. Berikutnya berikanlah contoh suatu barisan Cauchy

Bukti :

Karena (an) barisan Cauchy, maka (an) terbatas. Menurut teorema Bolzano-weirstrass, maka (an) memuat subsequent a’ = (ank) yang convergen, katakana lim (ank) = a

Selanjutnya ditunjukkan lim(an) = a

Ambil ε >0

Karena (an) barisan cauchy, maka terdapat n0 anggota N sehingga untuk semua n,m anggota N dengan n ≥ n0 dan m ≥ n0 berlaku |an – am| < ε /2

Selanjutnya

Bahwa lim (ank) = a maka terdapat t anggota {n1, n2, …} dengan t ≥1 sehingga |at – a| < ε /2

Jadi, untuk semua n anggota N dengan n ≥ n0 berlaku :

|an – a| ≤ |an – at| + |at – a| < ε /2 + ε /2 = ε

Terbukti untuk semua ε > 0, terdapat n0 anggota N dengan n ≥ n0 berlaku |an – a| <  ε yang berarti lim (an) = a dan berakibat barisan (an) konvergen ke a. []

  • Untuk setiap barisan (xn) C A yang konvergen ke c dengan xn < c, untuk semua n anggota N barisan (f(xn)) konvergen ke L

Bukti :

Diketahui L = lim (f(xn))

Ambil sebarang barisan (xn) dengan xn anggota A, xn ≠ c dan lim (xn) = c

Ditunjukkan bahwa lim (f(xn)) = L maka barisan (f(xn)) konvergen ke L.

Ambil ε >0  karena L = lim (f(xn)) maka terdapat  δ(ε) > 0 sehingga untuk semua x anggota A dengan 0< |x – c | < δ(ε) berlaku |f(x) – L| < ε

Mengingat lim(xn) = c maka untk δ(ε) > 0 tersebut, terdapat n0 anggota N sehingga untuk setiap n anggota N dengan n ≥ n0 berlaku |xn – c| < δ(ε)

Jadi, untuk setiap ε > 0, terdapat n0 anggota N sehingga untuk setiap n anggota N dengan n ≥ n0 maka |f(xn) – L| < ε, dan ini berarti lim f(x­n) = L . []

0 Responses to “Jawaban soal UAS Pengantar Analisis Real 2009”



  1. Tinggalkan sebuah Komentar

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s




Calendar

Januari 2010
S S R K J S M
« Des   Feb »
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031

%d blogger menyukai ini: