Archive Page 2

Uji Mc Nemar

Uji ini digunakan untuk mengetahui apakah perubahan proporsi pasangan variabel dikotomus sama atau tidak. Yang dimaksud variabel dikotomus disini adalah variabel yang saling berlawanan misalnya :”benar-salah”, “suka-tidak suka”, ’berhasil-gagal” dan lain-lain.

Uji Hipotesis untuk uji statistik ini yaitu:

· H0 : P1 = P2 (tidak ada perbedaan proporsi antara kedua perlakuan)

H1 : P1 ≠ P2 (ada perbedaan proporsi antara kedua perlakuan)

· Statistik Uji

Z =(b-c)/√(b+c)

Dimana:

b = banyaknya data yang berubah dari 1 ke 2

c = banyaknya data yang berubah dari 2 ke 1

· Daerah Kritis

H0 ditolak jika nilai absolut Z hitung > nilai Zα/2 .

Pada perangkat SPSS kita bisa melakukan uji ini dengan mengikuti langkah-langkah berikut:

Klik Analyze –> Nonparametric test –> 2 Related Samples,

Muncul dialog box berikut:

lalu  Aktifkan Mcnemar dan masukan variabel-variabel yang akan diuji.

Iklan

Peluang (cont)

Peluang suatu peristiwa A sama dengan jumlahan peluang setiap peristiwa sederhana di dalam A.

Contoh :
Diketahui proporsi golongan darah A, B, AB, dan O dari suatu populasi yang terdiri dari semua penduduk Negara X, ditulis secara berurutan adalah 0.41, 0.10, 0.04, dan 0.45. Jika seorang penduduk dipilih secara random, berapakah peluang orang tersebut
mempunyai golongan darah A atau AB?
Jawab:
P (Seorang penduduk mempunyai golongan darah A atau AB) = P(A) + P(AB) = 0.41+0.04 = 0.45

“Peristiwa-peristiwa baru” dapat dibentuk dari peristiwa-peristiwa yang sudah ada dengan menggunakan operasi dasar himpunan, yaitu gabungna (union), irisan (interseksi) dan komplementasi yang didefinisikan sebagai berikut:
a. Gabungan dua peristiwa A dan B, ditulis A ∪ B adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam A atau yang ada di dalam B.
A ∪ B = {x ∈ S, x ∈ A atau x ∈ B}.       (1)
b. Irisan dua peristiwa A dan B, ditulis A ∩ B, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam A dan di dalam B.
A ∩ B = {x ∈ S, x ∈ A dan x ∈ B}        (2)
c. Komplemen suatu peristiwa A, ditulis Ac, adalah himpunan semua elmenen yang tidak di dalam A (relatif terhadap S)
Ac = {x ∈ S, x ∉ A}    (3)

Contoh 2
Percobaan sebuah dadu dilemparkan satu kali, Ruang sampel: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 4}, B = {2, 3, 5} dan C = {4, 6}, maka
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} A ∩ B = ∅ A ∪ C = {1, 4, 6}
A ∩ C = {4} B⊂ = {1, 4, 6} C⊂ = {1, 2, 3, 5} B⊂ ∩ C = {4, 6}

Contoh 3
Misalakan X menunjukkan Indeks Prestasi (IP) seorang mahasiswa,
Ruang sampel: S = {X∈ R/0 ≤ X ≤ 4}
Bila P = {1,60 ≤ X < 1,75}, Q = {1.65 ≤ X ≤ 1.80} dan R = {X ≤ 1,74},
Maka P ∪ Q = {1,60 ≤ X ≤ 1,80}
P ∩ Q = {1,65 ≤ X < 1,75}
R⊂ = {1,74<X≤ 4}
Q ∩ R⊂ = {1,74 < X ≤ 180}.

Contoh 4:
Sebuah dadu dilemparkan dua kali, peristiwa-peristiwa K, L, M dan N didefinisikan sebagai berikut:
K = lemparan kedua menghasilkan 4
L = lemparan pertama ganjil
M = lemparan kedua menghasilkan 3
N = lemparan pertama menghasilkan prima


Maka K = {(1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4)}
L = (1,1), …, (1,6), (3,1), …, (3,6), (5,1), …, (5,6)}
M = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)}
N = {(2,1), …, (2,6), (3,1), …, (3,6), (5,1), …, (5,6)}.
K ∪ M = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4)}
L ∩ M = {(1,3),(3,3),(5,3)}
L ∩ M ∩ N = {(3,3), (5,3)}.

Dua peristiwa A dan B yang tidak mempunyai elemen berserikat, yaitu A∩B = ∅ , dinamakan saling asing (disjoint atau mutually exclusive).
Jika A dan B dua peristiwa yang saling asing, maka P(A ∩ B) = 0, sehingga berlaku :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B). (6)
Di samping itu, untuk setiap peristiwa A berlaku:
P (Ac) = 1 – P (A). (7)

Contoh 5:
Sebuah kartu diambil secara random dari satu dek kartu bridge. Dipandang peristiwa-peristiwa berikut dengan probabilitas masing-masing :
A = kartu terambil adalah hati; P(A) =13/52 = 1/4
B = kartu terambil adalah berlian; P(B) =13/52 = 1/4
C = kartu terambil adalah raja; P(C) =4/52 = 1/13
Karena peristiwa A dan B saling asing, maka: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) =
1/4 + 1/4 = 1/2

Definisi Peluang Bersyarat dan Independensi
Diketahui kejadian A dan B dengan P(B)>0. Maka peluang bersyarat A jika B telah diketahui, P(A|B), didefinisikan sebagai

Secara umum dapat diperlihatkan bahwa

P(A1 ∩ A2 ∩…∩ An ) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1 ∩ A2)….P(An | A1 ∩ A2 ∩…∩ An−1)

(10)

Dua kejadian A dan B disebut kejadian independen jika

P(A|B)=P(A) atau P(B|A) = P(B).   (11)

Jika A dan B independen maka

P(AB) = P(A)P(B)                      (12)

Secara umum, jika A1, A2, …, An kejadian-kejadian independen , maka

P(A1 ∩ A2 ∩…∩ An ) = P(A1)P(A2)….P(An )     (13)

Contoh 4.11:
Dua koin seimbang dilempar, dan diamati sisi yang terletak di posisi atas.
Didefinisikan: A: Sisi muka yang muncul pada koin pertama
B: Sisi belakang yang muncul pada koin kedua.
Apakah peristiwa A dan B independent?
Jawab:
S= {MM, MB, BM, BB}
A= {MM, MB}
B= {MB, BB}
A∩ B = {MB}
P (A) =2/4=1/2
P(A|B)=P( A∩ B)/P(B) =(1/4)/(1/2) = 1/2
Karena P (A) =P (A|B), maka A dan B independent.

Peluang

Tujuan utama dalam analisa statistik adalah mengambil kesimpulan (generalisasi) atau inferensi tentang suatu populasi berdasarkan informasi yang diperoleh dari data sampel. Dasar logika dari proses pengambilan inferensi statistik tentang suatu populasi dengan analisa data  sampel adalah peluang (probabilitas).

Kata-kata mungkin sekali, mungkin, tidak mungkin dan seterusnya sering dipakai untuk menunjukkan seberapa besar suatu peristiwa akan terjadi. Harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi disebut peluang (probabilitas). Peluang yang tinggi
menunjukkan kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi adalah besar.
Konsep peluang berhubungan dengan pengertian eksperimen (percobaaan) yang  menghasilkan “hasil” yang tidak pasti. Pengertian eksperimen di sini adalah suatu prosedur yang dijalankan pada kondisi yang sama dan pada akhir prosedur itu berbagai hasil dapat diamati. Sehingga istilah eksperimen yang digunakan di sini tidak terbatas hanya pada  eksperimen dalam laboratorium.

Ruang Sampel dan Peristiwa
Di muka telah dikemukakan pengertian eksperimen. Pada akhir suatu eksperimen dapat  ditulis berbagai hasil yang berbeda-beda, baik yang dapat dicacah, maupun diukur. Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu eksperimen dinamakan ruang sampel. Suatu peristiwa  adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel. Suatu peristiwa yang hanya memuat satu elemen saja dinamakan peristiwa sederhana. Gabungan dari suatu peristiwa sederhana disebut peristiwa bersusun. Jika suatu eksperimen telah dilakukan dan hasil yang diperoleh termasuk dalam himpunan bagian A, maka dikatakan bahwa peristiwa A telah terjadi.

Dari Diagram Venn tersebut bisa dilihat, S merupakan ruang sample yang terdiri dari semua peristiwa sederhana yang mungkin, A adalah peristiwa bersusun yang terdiri dari peristiwa sederhana E1, E3, dan E6.

Contoh 1 :
Eksperimen: melempar koin satu kali.
Peristiwa sederhana:
E1: muncul sisi muka (M)
E2: muncul sisi belakang (B)
Ruang sample S={E1, E2}

Contoh 2:
Eksperimen: mencatat golongan darah seorang pasien.
E1: golongan darah A
E2: golongan darah B
E3: golongan darah AB
E4: golongan darah O
Ruang sample S={E1, E2, E3, E4}
Beberapa eksperimen dapat dilakukan secara bertingkat, sehingga untuk menentukan ruang sample menggunakan diagram pohon.

Contoh 3:

Seorang ahli medis mencatat golongan dan faktor Rh darah seorang pasien. Dalam eksperimen tersebut, dilakukan pengamatan 2 hal, yaitu golongan darah dan faktor Rh. Untuk menentukan ruang sample dibuat diagram pohon sebagai berikut:Ada 8 peristiwa sederhana, sehingga ruang sample, S={A+,A-, B+, B-, AB+  , AB- , O+ , O-}.  Misalnya A adalah peristiwa pasien dengan faktor darah Rh+, maka A= {A+, B+, AB+, O+}.

Peluang Suatu Peristiwa
Definisi Khusus (Kasus kemungkinan sama) Dianggap bahwa suatu ruang sampel S mempunyai elemen yang banyaknya terhingga dan tiap-tiap elemen berkemungkinan sama akan terjadinya. Misalkan A suatu peristiwa, peluang bahwa peristiwa A akan terjadi jika eksperimen dilakukan, didefinisikan sebagai:
P (A) = n(A)/n(S)
dengan n(A) = banyaknya anggota dalam peristiwa A
n(S) = banyaknya anggota ruang sample

Contoh 4:
Jika A adalah peristiwa banyak titik genap yang tampak dalam pelemparan sebuah dadu satu kali. Ruang sampel eksperimen ini adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n (A) = 3 n(S) = 6
Sehingga P (A) = 3/6 = 1/2

Contoh 5:
Suatu toples berisi 3 permen dengan bentuk dan ukuran yang sama. Tiga permen tersebut, 1 kuning dan 2 merah. Setelah toples dikocok, 2 permen diambil satu persatu tanpa melihat. Berapakah probabilitas dua permen yang terambil merah semua?

S = {M1M2, M1K, M2M1, M2K, KM1, KM2}
A = Peristiwa terambil dua-duanya merah.
= {M1M2, M2M1}
n(S)=6; n(A)=2
P (A) = n(A)/n(S) =2/6=1/3

Kita ketahui bahwa S dan ∅ merupakan himpunan bagian dari setiap ruang sampel S. Dengan definisi probabilitas diperoleh:

S dinamakan peristiwa yang pasti terjadi, karena selalu terjadi. ∅ dinamakan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, karena tidak pernah terjadi. Peluang suatu peristiwa selalu lebih besar atau sama dengan 0 dan kurang dari atau sama dengan 1. Semakin besar peluang suatu peristiwa, berarti kemungkinan terjadi semakin besar. Begitu juga sebaliknya.
Jika suatu ruang sampel S mempunyai elemen yang banyaknya terhingga dan tiap-tiap elemen berkemungkinan tidak semua sama, maka penghitungan peluang suatu peristiwa tidak bisa menggunakan rumus di atas.

Inferensi Statistika

Inferensi statistik adalah pengambilan kesimpulan tentang parameter populasi berdasarkan analisa pada sampel. Beberapa hal yang perlu diketahui berhubungan dengan inferensi statistik yaitu estimasi titik, estimasi interval dan uji hipotesis. Estimasi titik adalah menduga nilai tunggal parameter populasi. Estimasi Interval adalah menduga nilai parameter populasi dalam bentuk interval.

Uji hipotesis adalah suatu proses untuk menentukan apakah dugaan tentang nilai parameter /karakteristik populasi didukung kuat oleh data sampel atau tidak.

Hipotesis dalam inferensi statistik di bedakan menjadi hipotesis nol (Ho), yaitu hipotesis yang akan diuji oleh suatu prosedur statistik, biasanya berupa suatu pernyataan tidak adanya perbedaan atau tidak adanya hubungan, dan hipotesis alternativ (H1), yaitu hipotesis yang merupakan lawan dari Ho biasanya berupa pernyataan tentang adanya perbedaan atau adanya hubungan, yang selanjutnya digunakan untuk menunjukan bahwa pernyataan mendapat dukungan kuat dari data.

Tahap-tahap uji hipotesis secara umum, yaitu:
1. Tentukan model probabilitas yang cocok dari data,
2. Tentukan hipotesis Ho dan H1,
3. Tentukan statistik penguji,
4. Tentukan tingkat signifikansi,
5. Tentukan daerah kritik berdasarkan tingkat signifikansi,
6. Hitung statistik penguji,
7. Alternatif, hitung p-value berdasarkan statistik penguji, dan
8. Ambil kesimpulan berdasarkan poin 6 dan 7.

Populasi dan Sampel

Populasi adalah himpunan keseluruhan obyek yang diselidiki. Himpunan bagian dari populasi dinamakan sampel. Karakteristik atau konstanta dari suatu populasi disebut parameter. Sedangkan suatu harga yang dihitung dari suatu sampel dinamakan statistik.

Analisa statistik dilakukan untuk dapat mengambil kesimpulan tentang parameter populasi berdasarkan observasi sampel. Oleh karena itu, sampel yang diperoleh hendaknya dapat memberikan gambaran yang “tepat” untuk populasinya (representatif). Karena dalamaberbagai penyelidikan (survey) kerap kali dijumpai populasi yang berbeda-beda keadaannya, maka harus digunakan sampel yang berbeda-beda pula macamnya. Khusus untuk populasi yang tidak terlalu heterogen, salah satu macam sampel yang dianggap “representatif” adalah sampel random, observasi-observasi dalam sampel independen satu dengan yang lain. Sampel random adalah sampel yang pengambilannya sedemikian hingga setiap elemen populasinya  mempunyai kemungkinan yang sama untuk terambil.

Cara Pengambilan Sampel

Prosedur pengambilan sampel merupakan hal yang mendasar dalam penelitian statistik. Hal ini berkaitan dengan bagaimana memilih jenis sampel untuk memperoleh keterangan mengenai karakteristik populasi. Sampel yang representatif adalah sampel yang dapat memberikan gambaran yang “tepat” tentang karakteristik populasi yang diselidiki.

Beberapa jenis sampel yang sering digunakan para peneliti adalah sampel random, sampel sistematis dan sampel kelompok (cluster sample).

1. Sampel Random Sederhana
Sampel random sederhana adalah sampel yang pengambilannya sedemikian hingga setiap elemen populasinya mempunyai kemungkinan yang sama untuk terambil. Proses pemilihan (pengambilan) sampel tersebut sebaiknya dilakukan dengan bantuan tabel bilangan random (random digit table).

2. Sampel Sistematis
Sampel sistematis adalah sampel yang pemilihannya dilakukan secara sistematis dari populasinya.
• Proses pengawasan kualitas
Pemilihan sampel dilakukan dengan cara pemilihan dan menguji semua produk yang dihasilkan tiap-tiap interval satu jam.
• Proses pemilihan sampel mahasiswa yang akan diukur berat badannya.
Pemilihan sampel dilakukan dengan cara memilih mahasiswa yang nomor mahasiswanya berakhiran 5.

3. Sampel Kelompok (Cluster Sample)
Sampel kelompok adalah sampel random sederhana dengan sampling unitnya berupa kumpulan atau kelompok elemen. Prosedur pemilihannya dilakukan secara random terhadap kelompok-kelompok.
Contoh :
Prosedur pemilihan sampel dalam penelitian untuk membuat perkiraan rata-rata pendapatan per rumah tangga di suatu kota. Dalam hal ini kelompoknya terdiri dari beberapa rumah tangga dan disebut blok (dapat digunakan sebagai blok adalah RT).
Kemudian dipilih secara random blok (RT), kemudian dilakukan pendaftaran rumah tangga pada setiap blok (RT) yang terpilih dan dilakukan penelitian.

Statistika: Sejarah dan Makna

Sejarah Singkat Statistika

Penggunaan metode statistika dalam penelitian ilmiah dirintis pertama kali oleh F. Galton sejak tahun 1880 yaitu penggunaan korelasi dalam penelitian biologi. Akhir abad 19 Karl Pearson mempelopori penggunaan metode statistika dalam berbagai penelitian biologi dan pemecahan masalah yang bersifat sosio-ekonomis. Pada tahun 1918-1935, R. Fisher
memperkenalkan Analisis Variansi ke dalam literatur statistika. Sejak saat itu penggunaan statistika semakin meluas dari bidang biologi dan pertanian ke bidang-bidang lainnya.

Arti Statistika


Statistika diambil dari bahasa latin “status” yang berarti negara. Statistika berarti keterangan-keterangan yang dibutuhkan negara dan berguna bagi negara. Statistika hanya dikaitkan dengan penyajian fakta-fakta dan angka-angka tentang situasi perekonomian, kependudukan dan politik di suatu negara.

Contoh:

Statistika tenaga kerja
Statistika produksi pertanian

Sebagai suatu disiplin ilmu Statistika adalah sekumpulan konsep dan metode tentang pengumpulan, penyajian, analisis dan interprestasi data kuantitatif bidang kegiatan tertentu dan pengambilan kesimpulan dalam situasi dimana ada ketidakpastian dan variasi.

Jika yang dibahas hanya terbatas pada pengumpulan, penyajian dan analisis data, dinamakan statistika deskriptif. Namun demikian, jika semua dibahas dengan penekanan pada interprestasi data dan pengambilan kesimpulan disebut statistika induktif atau statistika inferensial.

Metode Multi Objektif untuk Portofolio

Secara umum ada lima perumusan yang dapat menggambarkan tujuan investasi yang berbeda-beda dari seorang investor. Kelimanya merupakan kombinasi antara memaksimumkan return dan meminimumkan resiko.

• Model 1 : Memaksimumkan expected return (tidak mengindahkan risiko)
Maks Rp = rT w ;  Dengan syarat        1Tw =1 dan w ≥ 0
• Model 2 : Meminimumkan risiko (tidak mengindahkan expected return)
Min σp =w TΣw ; Dengan syarat 1Tw =1 dan w ≥ 0
• Model 3: Meminimumkan risiko untuk suatu tingkat expected return r
Min σp =w TΣw ; Dengan syarat 1Tw =1 , rT w = r* dan w ≥ 0
• Model 4 : Memaksimumkan return untuk suatu tingkat risiko σ*
Maks Rp = rT w ;  Dengan syarat 1Tw =1, w TΣw = σ* dan w ≥ 0
• Model 5 : Memaksimumkan return dan meminimumkan risiko
Maks Rp = rT w dan Min σp =w TΣw Dengan syarat   1Tw =1 dan w ≥ 0

Permasalahan optimisasi multi-objective di atas dapat diselesaikan dengan bantuan fungsi Lagrange sebagai berikut :

= -wTr + µ wTΣw +λ(1Tw-1)

kasus di atas termasuk kasus dengan satu pengali Lagrange. Untuk mendapatkan penyelesaian nilai optimal dari w, persamaan di atas diturunkan terhadap w dan kemudian hasilnya disamakan dengan nol. Hasil penurunannya sebagai berikut:

Dengan melakukan transpose hasil di atas, akan diperoleh :

Substitusi persamaan di atas ke persamaan 1Tw = 1 . Hasilnya :
Substitusikan kembali nilai λ di atas ke persamaan 1/(2 µ) Σ-1(r- λ1) untuk memperoleh nilai w.

Hasilnya sebagai berikut :


= 1/(2 µ) Σ-1 r- 1/(2 µ) Σ-1 (( 1TΣ-1 r/1TΣ-1 1)-( 2 µ/1TΣ-1 1))

Berdasarkan rumus di atas, dapat dihitung bobot portofolio untuk berbagai nilai k atau µ yang diberikan.


Calendar

September 2017
S S R K J S M
« Jul    
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930