Posts Tagged 'analisis real'

Suprimum dan Infimum

Teorema 1 :

Diketahui himpunan S c R

  • suatu elemen a anggota R disebut batas atas S jika : x ≤ a, untuk semua x anggota S
  • suatu elemen b anggota R disebut batas bawah S jika : b ≤ x, untuk semua x anggota S

Catatan:

–  suatu himpunan S dikatakan terbatas ke atas jika S mempunyi batas atas

–  suatu himpunan S dikatakan terbatas ke bawah jika S mempunyi batas bawah

–  suatu himpunan S dikatakan terbatas  jika S terbatas ke atas dan terbatas ke bawah

Teorema 2 :

Diketahui himpunan SR

  • jika a batas atas S, dan b > a maka b batas atas S, sehingga jika S terbatas ke atas maka ada tak hingga banyak batas atas S. Batas atas S paling kecil disebut suprimum S yang ditulis sup S
  • jika S terbatas ke bawah, maka ada tak hingga banyak batas bawah SBatas bawah S paling besar disebut infimum S yang ditulis inf  S

Teorema 3 :

Diketahui himpunan S c R

  • a sup S jika : a batas atas S (x ≤ a, untuk semua x anggota s) dan terdapat t batas atas S sehingga a ≤ t, atau
  • a sup S jika : a batas atas S  dan terdapat r < a dan r bukan batas atas S yaitu terdapat x anggota S sehingga r<x
  • b inf  S jika : b batas bawah S  dan terdapat t batas bawah S sehingga t ≤ b, atau
  • b inf  S jika : b batas bawah S  dan terdapat r > b dan r bukan batas bawah S yaitu terdapat x anggota S sehingga x < r

Lemma :

SR dan S Ø

  • a sup S jika hanya jika untuk suatu ε > 0, terdapat x anggota S sehingga a-ε < x ≤ a
  • b inf S jika hanya jika untuk suatu ε > 0, terdapat x anggota S sehingga b+ε > x atau b ≤ x < b+ε

Bukti :

==>

diketahui a sup S akan dibuktikan bahwa untuk suatu ε > 0, terdapat x anggota S sehingga a-ε < x ≤ a

ambil ε > 0

karena a-ε < a, maka a-ε bukan batas atas S, sehingga terdapatx anggota S sehingga a-ε < x . terbukti []

<==

diketahui untuk suatu ε > 0, terdapat x anggota S sehingga a-ε < x ≤ a, akan dibuktikan bahwa a sup S

misal c batas atas S dengan c<a, maka a-c > 0

ambil ε = a-c, maka menurut hipotesa, terdapat x anggota S sehingga a-ε = a(-a-c) = c < x

yang berarti c bukan batas atas S yang kontradiksi dengan c batas atas S.

jadi, jika c batas atas S, maka c > a yang berarti a sup S []

Nilai Mutlak

jika a anggota R, maka nilai mutlak a ditulis |a| dan di defenisikan :

“|a| =  a,  jika a ≥ 0 dan |a| = -a,  jika a < 0”

 

Teorema 1 :

  1. |-a| = |a| , untuk semua a anggota R
  2. |a.b| = |a|.|b|, untuk semua a,b anggota R
  3. jika c > 0, maka |a| ≤ c jika hanya jika -c ≤ a ≤ c
  4. -|a| ≤ a ≤ |a|, untuk semua a anggota R
  5. |a ± b| ≤ |a| + |b|
  6. |a| – |b| ≤ |a ± b|

 

Definisi :

Diketahui a anggota R,

  • untuk ε > 0, kitaran ε dari a ditulis Vε(a) yang didefenisikan sebagai : Vε(a) = {x anggota R | |x-a| < ε}
  • suatu kitaran (neighbourhood) titik a adalah suatu himpunan yang memuat kitaran ε dari a untuk suatu ε > 0

 

Teorema 2 :

diketahui a anggota R

jika x anggota R sehingga x menjadi anggota setiap kitaran a, maka x = a

Bukti :

Menurut hipotesa, x anggota Vε(a), untuk semua ε >0, sehingga

0 ≤ |x-a| ≤ ε untuk semua ε >0

ini berakibat |x-a| = 0, => x-a = 0 => x = a []

 


Calendar

Juli 2017
S S R K J S M
« Jul    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31