Sistem Bilangan Real

Teorema 1

• jika z,a anggota R dan z+a = a, maka z=0

bukti :

z=0,

a+(-a)=0

0 = a+(-a) = (z+a)+(-a) = z + (a+(-a)) = z+0 = z

jadi terbukti z = 0

• jika u,b anggota R dengan b bukan 0 (nol) dan u.b=b, maka u=1

bukti :

u = 1

a.(1/a) = 1

1 = a.(1/a) = u.a.(1/a) = u. (a.(1/a)) = u.1 = u

jadi terbukti bahwa u=1

Teorema 2

• jika a,b anggota R dan a+b=0 maka b=-a

bukti :
diketahui a+b=0

menurut sifat invers penjumlahan, karena a anggota R, maka terdapat (-a) anggota R sehingga a+(-a)=0, maka

0 = a+b

0 = a+(-a)

-a+(a+b) = (-a)+0

((-a)+a)+b = -a

0+b=-a

b=-a

• jika a,b anggora R dengan a bukan 0 (nol), dan a.b=1, maka b=(1/a)

Teorema 3

jika a,b anggota R, maka:

• persamaan a+x = b mempunyai solusi tunggal x = (-a)+b
• jika a bukan nol, maka persamaa a.x = b mempunyai solusi tunggal x = (1/a).b

Teorema 4

jika a anggota R, maka :

1. a.0 = 0
2. (-1).a = -a
3. -(-a) = a
4. (-1).(-1) = 1

Teorema 5

diketahui a,b,c anggota R

• jika a bukan nol, maka( 1/a) bukan nol dan 1/(1/a) = a
• Jika a.b = a.c dan a bukan nol, maka b=c

a.b = a.c

karena a bukan nol maka terdapat 1/a anggota R sehingga

(1/a).a.b = (1/a).a.c

((1/a).a).b = ((1/a).a).c

1.b = 1.c

b=c

• jika a.b=0 maka a=0 atau b=0

sistem bilangan real