Jawaban soal UAS Pengantar Analisis Real 2009

• Didefenisikan pengertian himpunan terbuka dalam R. selanjunya buktikan jika A, B dan C merupakan himpunan terbuka dalam R maka A ∩ B ∩ C juga terbuka dalam R.

bukti :

Diketahui A, B dan C masing-masing terbuka dalam R

Akan dibuktikan bahwa (A ∩ B ∩ C) terbuka

Jika (A ∩ B ∩ C) = Ø, maka (A ∩ B ∩ C) terbuka

Sedangkan

Jika (A ∩ B ∩ C ≠ Ø), maka ambil sebarang x anggota (A ∩ B ∩ C)

–         x anggota A dan A terbuka,  maka terdapat ε_A > 0 shingga V_εA(x) C A

–         x anggota B dan B terbuka,  maka terdapat ε_B > 0 shingga V_εB(x) C B

–         x anggota C dan C terbuka,  maka terdapat ε_C > 0 shingga V_εC (x) C C

selanjutnya

diambil ε minimum (ε_A, ε_B, ε_C), jelas bahwa ε >0, sehingga V_ε (x) C V_εi(x) C i untuk i = A, B, C

ini berakibat Vε(x) C (A ∩ B ∩ C)

terbukti bahwa untuk x elemen (A ∩ B ∩ C) terdapat ε > 0 sehingga Vε (x) C (A ∩ B ∩ C), jadi (A ∩ B ∩ C) terbuka. []

• Jika barisan bilangan Real (a_n) merupakan barisan Cauchy, buktikan bahwa (a_n) konvergen. Berikutnya berikanlah contoh suatu barisan Cauchy

Bukti :

Karena (a_n) barisan Cauchy, maka (a_n) terbatas. Menurut teorema Bolzano-weirstrass, maka (a_n) memuat subsequent a’ = (a_nk) yang convergen, katakana lim (a_nk) = a

Selanjutnya ditunjukkan lim(a_n) = a

Ambil ε >0

Karena (a_n) barisan cauchy, maka terdapat n₀ anggota N sehingga untuk semua n,m anggota N dengan n ≥ n₀ dan m ≥ n₀ berlaku |a_n – a_m| < ε /2

Selanjutnya

Bahwa lim (a_nk) = a maka terdapat t anggota {n₁, n₂, …} dengan t ≥1 sehingga |a_t – a| < ε /2

Jadi, untuk semua n anggota N dengan n ≥ n₀ berlaku :

|a_n – a| ≤ |a_n – a_t| + |a_t – a| < ε /2 + ε /2 = ε

Terbukti untuk semua ε > 0, terdapat n₀ anggota N dengan n ≥ n₀ berlaku |a_n – a| <  ε yang berarti lim (a_n) = a dan berakibat barisan (a_n) konvergen ke a. []

• Untuk setiap barisan (x_n) C A yang konvergen ke c dengan x_n < c, untuk semua n anggota N barisan (f(x_n)) konvergen ke L

Bukti :

Diketahui L = lim (f(x_n))

Ambil sebarang barisan (x_n) dengan x_n anggota A, x_n ≠ c dan lim (x_n) = c

Ditunjukkan bahwa lim (f(x_n)) = L maka barisan (f(x_n)) konvergen ke L.

Ambil ε >0  karena L = lim (f(x_n)) maka terdapat  δ(ε) > 0 sehingga untuk semua x anggota A dengan 0< |x – c | < δ(ε) berlaku |f(x) – L| < ε

Mengingat lim(x_n) = c maka untk δ(ε) > 0 tersebut, terdapat n₀ anggota N sehingga untuk setiap n anggota N dengan n ≥ n₀ berlaku |x_n – c| < δ(ε)

Jadi, untuk setiap ε > 0, terdapat n₀ anggota N sehingga untuk setiap n anggota N dengan n ≥ n₀ maka |f(x_n) – L| < ε, dan ini berarti lim f(x­_n) = L . []

Nilai Mutlak

jika a anggota R, maka nilai mutlak a ditulis |a| dan di defenisikan :

“|a| =  a,  jika a ≥ 0 dan |a| = -a,  jika a < 0”

 

Teorema 1 :

1. |-a| = |a| , untuk semua a anggota R
2. |a.b| = |a|.|b|, untuk semua a,b anggota R
3. jika c > 0, maka |a| ≤ c jika hanya jika -c ≤ a ≤ c
4. -|a| ≤ a ≤ |a|, untuk semua a anggota R
5. |a ± b| ≤ |a| + |b|
6. |a| – |b| ≤ |a ± b|

 

Definisi :

Diketahui a anggota R,

• untuk ε > 0, kitaran ε dari a ditulis Vε(a) yang didefenisikan sebagai : Vε(a) = {x anggota R | |x-a| < ε}
• suatu kitaran (neighbourhood) titik a adalah suatu himpunan yang memuat kitaran ε dari a untuk suatu ε > 0

 

Teorema 2 :

diketahui a anggota R

jika x anggota R sehingga x menjadi anggota setiap kitaran a, maka x = a

Bukti :

Menurut hipotesa, x anggota Vε(a), untuk semua ε >0, sehingga

0 ≤ |x-a| ≤ ε untuk semua ε >0

ini berakibat |x-a| = 0, => x-a = 0 => x = a []

 

Sifat Urutan Pada R

Ada himpunan bagian (P c R) yang disebut himpuan bilangan positif tegas yang memenuhi :
1. a,b anggota P, => a+b anggota P
2. a,b anggota P. => a.b anggota P
3. a anggota P, => berlaku tepat satu pernyataan berikut : a anggota P, a=0, -a anggota P

Himpunan : {-a|a anggota P} disebut himpunan Bilangan Real Positif  Tegas.

Definisi 1:
Jika a anggota P, maka dikatakan a bilangan real positif tegas yang ditulis a > 0.  jika salah satu yaitu a anggota P atau a = 0, maka  dikatakan a bilangan real positif ditulis a ≥ 0.

Jika -a anggota P, maka dikatakan a bilangan real negatif tegas yang ditulis a < 0. jika salah satu yaitu -a anggota P atau -a = 0, maka dikatakan a bilanga real negatif yang ditulis a ≤ 0

Definisi 2:

diketahui a anggota R

a. jika a-b anggota P, maka ditulis a > b atau b < a

b. jika a-b anggota P U {0}, maka ditulis a ≥ b atau b ≤ a

a < b < c dimaksud a < b dan b < c
a ≤ b ≤ c dimaksud a ≤ b dan b ≤ c

Teorema 1:
Diketahui a,b,c anggota R

1. a > b dan b > c, maka a > c
2. tepat satu pernyataan berikut berlaku: a > b, a = b, a < b
3. a > b, dab b > a, maka a = b

Teorema 2 :

1. Jika a anggota R dan a ≠o, maka a^2 > 0
2. 1 > 0
3. jika n anggota N, maka n > 0

Teorema 3 :

diketahui a,b,c anggota R

1. jika a > b , maka a+c > b+c
2. jika a > b dan c > d, maka a+c > b+d
3. jika a > b dan c > 0, maka a.c > b.c  dan jika a > b dan c < 0, maka a.c < b.c
4. jika a > 0 maka 1/a > 0, dan jika a < 0 maka 1/a < 0.

Teorema 4 :

Jika a,b anggota R dan a > b, maka a > (a+b)/2 > b

Bukti :

karena a > b, maka

a+a > a+b                            dan                          a+b > b+b

2a > a+b                                                                a+b > 2b

a > (a+b)/2                                                          (a+b)/2 > b

sehingga a > (a+b)/2 > b []

akibat : jika a > 0, maka a> a/2 > 0

Teorema 5 :

Jika a anggota R dan 0 ≤ a < ε, maka setiap bilangan positif tegas ε anggota R berakibat a = 0

Bukti:

andaikan a ≠0, maka a > 0 sehingga a> a/2 > 0

ambil ε nol = a/2, maka didapat a > ε nol > o dengan ε nol > 0

jadi, terdapat ε nol > o dengan a > ε nol > o. hal ini kontradiksi dengan ε > a >= 0, untuk semua ε >  0. Pengandaian Salah []

Teorema 6:

jika a.b > 0, maka berlaku salah satu:

1. a > 0 dan b > 0 , atau
2. a <0 dan b < 0

akibat :

jika a.b < 0, maka berlaku salah satu:

1. a < 0 dan b > 0 , atau
2. a > 0 dan b < 0

Bilangan Rasional

Bilangan Real yang dapat ditulis dalam bentuk a/b dengan a,b anggota Z dan a tidak sama dengan nol, disebut bilangan Rasional.

Z={…,-2,-1,0,1,2,….} –> Himpunan Bilangan Bulat

Himpunan semua bilangan rasional yang selanjutnya ditulis Q,
Q = { b/a | b,a anggota Z dan a bukan 0 }

sedangkan bilangan Real yang bukan merupakan bilangan rasional disebut bilangan Irasional, misalnya (e, phi, akar 2,…)

Teorema :
“tidak ada bilangan rasional r sehingga r^2 = 2 ”

Bukti :
andaikan ada r anggota Q sehingga r^2 = 2
karena r anggota Q, maka dapat ditulis r = p/q dengan p,q anggota Z, serta p dan q tidak mempunyai faktor berserikan selain 1.(*)
sehingga diperoleh (p/q)^2 = 2 atau p^2 = 2q^2
karena 2q^2 genap, maka p^2 genap, sehingga p genap, sebab jika p ganjil maka p=2k+1 sehingga p^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2 (2k^2 + 2k) + 1 ganjil.
karena p genap, maka p=2m sehingga :
(2m)^2 = 2q^2
4m^2 = 2q^2
2m^2 = q^2
yang berarti q^2 genap. ini berakibat q genap.
karena p dan q genap, maka p dan q mempunyai faktor berserikat selain 1.
hal tersebut merupakan kontradiksi dari pernyataan (*)
jadi, pengandaian salah dan yang benar adalah TIDAK ADA r anggota Q sehingga r^2 = 2. []

Sistem Bilangan Real

Teorema 1

• jika z,a anggota R dan z+a = a, maka z=0

bukti :

z=0,

a+(-a)=0

0 = a+(-a) = (z+a)+(-a) = z + (a+(-a)) = z+0 = z

jadi terbukti z = 0

• jika u,b anggota R dengan b bukan 0 (nol) dan u.b=b, maka u=1

bukti :

u = 1

a.(1/a) = 1

1 = a.(1/a) = u.a.(1/a) = u. (a.(1/a)) = u.1 = u

jadi terbukti bahwa u=1

Teorema 2

• jika a,b anggota R dan a+b=0 maka b=-a

bukti :
diketahui a+b=0

menurut sifat invers penjumlahan, karena a anggota R, maka terdapat (-a) anggota R sehingga a+(-a)=0, maka

0 = a+b

0 = a+(-a)

-a+(a+b) = (-a)+0

((-a)+a)+b = -a

0+b=-a

b=-a

• jika a,b anggora R dengan a bukan 0 (nol), dan a.b=1, maka b=(1/a)

Teorema 3

jika a,b anggota R, maka:

• persamaan a+x = b mempunyai solusi tunggal x = (-a)+b
• jika a bukan nol, maka persamaa a.x = b mempunyai solusi tunggal x = (1/a).b

Teorema 4

jika a anggota R, maka :

1. a.0 = 0
2. (-1).a = -a
3. -(-a) = a
4. (-1).(-1) = 1

Teorema 5

diketahui a,b,c anggota R

• jika a bukan nol, maka( 1/a) bukan nol dan 1/(1/a) = a
• Jika a.b = a.c dan a bukan nol, maka b=c

a.b = a.c

karena a bukan nol maka terdapat 1/a anggota R sehingga

(1/a).a.b = (1/a).a.c

((1/a).a).b = ((1/a).a).c

1.b = 1.c

b=c

• jika a.b=0 maka a=0 atau b=0

sistem bilangan real