Bilangan Rasional

Bilangan Real yang dapat ditulis dalam bentuk a/b dengan a,b anggota Z dan a tidak sama dengan nol, disebut bilangan Rasional.

Z={…,-2,-1,0,1,2,….} –> Himpunan Bilangan Bulat

Himpunan semua bilangan rasional yang selanjutnya ditulis Q,
Q = { b/a | b,a anggota Z dan a bukan 0 }

sedangkan bilangan Real yang bukan merupakan bilangan rasional disebut bilangan Irasional, misalnya (e, phi, akar 2,…)

Teorema :
“tidak ada bilangan rasional r sehingga r^2 = 2 ”

Bukti :
andaikan ada r anggota Q sehingga r^2 = 2
karena r anggota Q, maka dapat ditulis r = p/q dengan p,q anggota Z, serta p dan q tidak mempunyai faktor berserikan selain 1.(*)
sehingga diperoleh (p/q)^2 = 2 atau p^2 = 2q^2
karena 2q^2 genap, maka p^2 genap, sehingga p genap, sebab jika p ganjil maka p=2k+1 sehingga p^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2 (2k^2 + 2k) + 1 ganjil.
karena p genap, maka p=2m sehingga :
(2m)^2 = 2q^2
4m^2 = 2q^2
2m^2 = q^2
yang berarti q^2 genap. ini berakibat q genap.
karena p dan q genap, maka p dan q mempunyai faktor berserikat selain 1.
hal tersebut merupakan kontradiksi dari pernyataan (*)
jadi, pengandaian salah dan yang benar adalah TIDAK ADA r anggota Q sehingga r^2 = 2. []